05数学(算法)与经济管理

07-运筹学-状态转移矩阵

2021-08-15 181 2

简介 状态转移矩阵

状态转移矩阵 transition matrix


    Example. In a certain city, if today is sunny, tomorrow will be sunny 80% of the time. If today is cloudy, tomorrow will be cloudy

60% of the time. Supposing today is sunny, what is the probability it will be cloudy the day after tomorrow

upfile

upfile

tomorrow:

    today is sunny, then : sunny 80%, cloudy 20%

after tomorrow:

    then: cloudy is  80% * 20% + 20% * 60% = 28%


So today is sunny, 28% it will be cloudy the day after tomorrow



来两个中文的例子

   

例1

假设市场上某种商品有两种品牌A和B,当前的市场占有率各为50%。根据历史经验估计,这种商品当月与下月市场占有率的变化可用转移矩阵P来描述:

upfile

其中  p(a->b) 是A的市场占有份额中转移给B的概率,依次类推。这样,两个月后的这种商品的市场占有率变化为_。


    A.A的份额增加了10%,B的份额减少了10%

    B.A的份额减少了10%,B的份额增加了10%

    C.A的份额增加了14%,B的份额减少了14%

    D.A的份额减少了14%,B的份额增加了14%


解析:

    1. 1个月后

    A的市场占有率为: 50% * 80% + 50% * 40% = 60%

    B的市场占有率为: 50% * 20% + 50% * 60% = 40%


    2. 2个月后

    A的市场占有率为: 60% * 80% + 40% * 40% = 64%

    B的市场占有率为: 60% * 20% + 40% * 60% = 36%


因此A的市场份额增加了14%, B的市场份额减少了14%, 答案就是C了。



例2

    某类产品n种品牌在某地区的市场占有率常用概率向量u=(u1,u2,…,un)表示(各分量分别表示各品牌的市场占有率,值非负,且总和为1)。市场占有率每隔一定时间的变化常用转移矩阵Pn*n表示。设初始时刻的市场占有率为向量u,则下一时刻的市场占有率就是uP,再下一时刻的市场占有率就是uP2,…。如果在相当长时期内,该转移矩阵的元素均是常数,则市场占有率会逐步稳定到某个概率向量z,即岀现zP=z。这种稳定的市场占有率体现了转移矩阵的特征,与初始时刻的市场占有率无关。

    假设占领某地区市场的冰箱品牌A与B,每月市场占有率的变化可用如下常数转移矩阵来描述,则冰箱品牌A与B在该地区最终将逐步稳定到市场占有率为多少?

upfile


解析:

    状态转移矩阵的特点:

    最终结果稳定,这种稳定的状态体现了转移矩阵的特征,与初始时刻的状态无关。、

    假设最终A稳定在n,B稳定在m。

    那么有:

    ① 0.8n + 0.4m = n

    ② 0.2n + 0.6m = m, 由 ①②得到 n = 2m

    因为m + n = 100% 也就是1

    

    最终稳定状态时, A为 2/3 B为1/3


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